Considerando que o preço do kwh é em média 0 30 calcule o consumo de uma lâmpada fluorescente de 20w

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estudante, para o desenvolvimento das atividades propostas a seguir, será necessário relembrar algumas fórmulas, raciocínio algébrico e técnicas de resolução de equações. Você deverá ficar atento aos comentários e possíveis complementos que o professor fará no decorrer das aulas, pois serão apresentados novos significados sobre proporcionalidade. Objetivo das aulas: • Resolver situações-problema que envolvam a razão entre duas grandezas de natureza diferentes, como velocidade e densidade demográfica. 4. O resultado de uma pesquisa para saber o esporte preferido de 1 500 pessoas está representado na tabela a seguir: Esporte proferido Número de pessoas Futebol 450 Voleibol 320 Basquete 180 Tênis 100 Natação 210 Ginástica artística 80 Corrida 160 Encontre a razão entre as modalidades esportivas: a. Futebol e Voleibol. b. Futebol e Tênis. c. Natação e Ginastica artística. d. Corrida e Basquete. e. Maior preferência e menor preferência. 70 1 MATEMÁTICA 1. 𝑡𝑡 A velocidade média é obtida pelo cálculo da razão entre as grandezas diferentes. A razão velocidade média é dada por 𝑉𝑉 = 𝑆𝑆, na qual S é a distância percorrida e t se refere ao tempo gasto. Um carro passa pelo km 340 de uma rodovia às 14h30min, a uma velocidade de 80 𝑘𝑘𝑘𝑘ℎ . A próxima cidade fica próxima cidade fica no km 400, a que horas esse carro chegará a essa cidade, mantendo-se a velocidade? 2 . A razã o consum o médi o é o quocient e do espaç o percorrido, em quilômetros , pel a quantida de de combustível, em litros, gast o n o percurs o e é representad a po r = , em que C é o consum o médio , S é a distânci a percorrida e v a quantida de de combustível. Pa ra percorre r um a distânci a d e 53 0 k m, u m ca rro qu e te m u m consum o médi o de 1 5 , gasta quanto de combustível? Se o litro da gasolina custa R$ 6,00, calcule quanto será pago pela gasolina? a. 250. b. 25. c. 2,5. d. 0,25. 3. A densidade demográfica é o quociente entre o número de habitantes (hab ) e a área (A), em quilômetros quadrados, de uma região: = . Aproximadamente 30 milhões de habitantes vivem em uma região brasileira com uma área de 1 200 mil .. A densidade demográfica dessa região brasileira é de: no km 400. Mantendo a velocidade, a que horas esse carro chegará a essa cidade? MATEMÁTICA | 117 118 | MATEMÁTICA MATEMÁTICA | 119 MATEMÁTICA l 75 b. Considerando que o preço do kWh é, em média, R$ 0,30, calcule o consumo de uma lâmpada fluorescente de 20W, ligada por um período de 6 horas, por 30 dias. Resolução AULAS 5 E 6: PROPORCIONALIDADE DIRETA E INVERSA ENTRE DUAS GRANDEZAS Caro estudante, para o desenvolvimento das atividades propostas a seguir, será necessário relembrar alguns significados de proporção. Você deverá ficar atento aos comentários e possíveis complementos que o professor fará no decorrer das aulas, pois serão apresentados novos significados de razão, proporção e grandezas. Objetivos das aulas: • Diferenciar relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas; • Identificar as relações de proporcionalidade em escalas, em divisão em partes proporcionais e em taxas de variações de duas grandezas; • Associar a contextos diversos a relação de proporcionalidade entre grandezas. A proporção é a relação entre duas grandezas. Duas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando um aumento na medida da primeira grandeza gera um aumento de mesma proporção na medida da segunda grandeza, ou quando uma diminuição da medida da primeira grandeza gera uma diminuição de mesma proporção da medida da segunda grandeza. Quando temos duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais, temos que x .y = k. Neste caso, o K é a constante de proporcionalidade. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando um aumento na medida da primeira grandeza gera uma diminuição na medida da segunda grandeza na mesma proporção, ou quando uma diminuição da medida da primeira grandeza gera um aumento da medida da segunda grandeza na mesma proporção. Quando temos duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais, temos que y = k/x. Neste caso, o K é a constante de proporcionalidade. 120 | MATEMÁTICA MATEMÁTICA l 75 b. Considerando que o preço do kWh é, em média, R$ 0,30, calcule o consumo de uma lâmpada fluorescente de 20W, ligada por um período de 6 horas, por 30 dias. Resolução AULAS 5 E 6: PROPORCIONALIDADE DIRETA E INVERSA ENTRE DUAS GRANDEZAS Caro estudante, para o desenvolvimento das atividades propostas a seguir, será necessário relembrar alguns significados de proporção. Você deverá ficar atento aos comentários e possíveis complementos que o professor fará no decorrer das aulas, pois serão apresentados novos significados de razão, proporção e grandezas. Objetivos das aulas: • Diferenciar relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas grandezas; • Identificar as relações de proporcionalidade em escalas, em divisão em partes proporcionais e em taxas de variações de duas grandezas; • Associar a contextos diversos a relação de proporcionalidade entre grandezas. A proporção é a relação entre duas grandezas. Duas grandezas podem ser diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando um aumento na medida da primeira grandeza gera um aumento de mesma proporção na medida da segunda grandeza, ou quando uma diminuição da medida da primeira grandeza gera uma diminuição de mesma proporção da medida da segunda grandeza. Quando temos duas grandezas, x e y, diretamente proporcionais, temos que x .y = k. Neste caso, o K é a constante de proporcionalidade. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando um aumento na medida da primeira grandeza gera uma diminuição na medida da segunda grandeza na mesma proporção, ou quando uma diminuição da medida da primeira grandeza gera um aumento da medida da segunda grandeza na mesma proporção. Quando temos duas grandezas, x e y, inversamente proporcionais, temos que y = k/x. Neste caso, o K é a constante de proporcionalidade. MATEMÁTICA | 121 b. A velocidade de um trem e o tempo gasto no percurso. Resposta e. A velocidade de um automóvel e a distância percorrida por ele. Resposta MATEMÁTICA 1 77 d. A distância percorrida por um aplicativo de transporte e o valor a pagar no final da corrida. Resposta e. Número de operários trabalhando no mesmo ritmo e tempo para realizar um trabalho. Resposta 3. Para melhor compreendermos o significado de grandezas direta ou inversamente proporcionais, observe as relações de proporcionalidade nos itens a, b, e e d e as classifique em diretamente ou inversamente proporcional. a. 5 l de combustível ------------- 50 km percorridos 1 O / de combustível ------------ 100 km percorridos Resposta 122 | MATEMÁTICA b. A velocidade de um trem e o tempo gasto no percurso. Resposta e. A velocidade de um automóvel e a distância percorrida por ele. Resposta MATEMÁTICA 1 77 d. A distância percorrida por um aplicativo de transporte e o valor a pagar no final da corrida. Resposta e. Número de operários trabalhando no mesmo ritmo e tempo para realizar um trabalho. Resposta 3. Para melhor compreendermos o significado de grandezas direta ou inversamente proporcionais, observe as relações de proporcionalidade nos itens a, b, e e d e as classifique em diretamente ou inversamente proporcional. a. 5 l de combustível ------------- 50 km percorridos 1 O / de combustível ------------ 100 km percorridos Resposta MATEMÁTICA | 123 124 | MATEMÁTICA MATEMÁTICA | 125 MATEMÁTICA 1 81 2. Um automóvel com velocidade constante percorre 20 m em 4 minutos. Quantos metros percorrerá em 6 minutos? Resolução 3. Em um dia de trabalho, 5 operários produziram 800 peças. Se 8 operários trabalhassem no mesmo ritmo, quantas peças iriam produzir? Resolução 4. Para construir uma casa, 4 pedreiros levaram 60

UNIJUI - Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul

DEFEM - Departamento de Física, Estatística e Matemática

Licenciatura  Plena em Matemática

Componente Curricular: Modelagem Matemática II - Pedro Augusto Pereira Borges

 Modelagem Matemática em Energia Elétrica

Ivanette Frizzo Rosane Margarete Steffens

Adarir de Souza Froner

INTRODUÇÃO

A energia elétrica tornou-se um fator essencial no desenvolvimento de uma nação. As indústrias dela necessitam para obter seu produto e sua utilização, nos meios comerciais e residências, poupa esforços e proporciona mais conforto. É difícil imaginar vivermos sem ela, quando tudo o que utilizamos para facilitar a nossa vida depende desta fonte de energia.

            O porquê da energia na forma de energia elétrica se deve ao fato da facilidade de seu transporte, de sua transformação e de sua pronta utilização. A geração dessa energia provém, basicamente, das usinas hidro e termelétricas.

            Sabemos que fazer uso de aparelhos movidos à energia elétrica  acarreta gastos, tanto de energia como financeiramente pois pagamos por toda energia que consumimos. Logicamente,  se economizarmos gastos de energia, estaremos economizando dinheiro. E isso acontece toda vez que acendemos uma lâmpada, tomamos um banho, assistimos TV, etc.

 Queremos com o presente trabalho, através de cálculos matemáticos,  mostrar os gastos de energia feitos em uma residência e quais as maneiras de controlar o consumo de energia elétrica para que haja economia financeira. Quer também analisar a viabilidade do uso de lâmpadas incandescentes e fluorescentes na economia de energia.

            Esse estudo se desenvolveu levando em conta os gastos de energia de uma residência considerando os aparelhos que necessitam dessa energia, sua potência, tempo de uso e outros fatores.

            Para desenvolver o trabalho utilizamos cálculos que envolveram basicamente função simples e seus respectivos gráficos para visualização, porcentagem, regra de três simples e estatística.

DESENVOLVIMENTO

              Em nossas residências temos vários aparelhos que necessitam de energia elétrica para seu funcionamento: TV, aparelhos de som, chuveiro, lâmpadas, geladeira, refrigerador, ar condicionado, etc. Aparelhos estes que produzem gastos diferentes de energia dependendo da potência de cada equipamento.

            Em primeiro lugar precisamos saber  como se calcula o gasto em KWh mensal de cada equipamento no orçamento doméstico. Para isso precisamos saber:

-   Energia: capacidade de um sistema de realizar trabalho (volt: símbolo V)

-         Potência: trabalho realizado em um determinado tempo (Watts);

-         Número de horas de utilização do aparelho por dia;

-         Número de dias de uso por mês

              Conhecendo esses fatores podemos calcular quanto de energia é gasto por cada aparelho que utilizamos. Isso é possível se utilizarmos a fórmula do cálculo da energia:

Onde P: potência; D: dias de uso e h: n° de horas por dia

Sabendo disso fizemos a seguinte tabela com os principais equipamentos que uma casa possui, sendo que nela residem duas pessoas:

Tabela 1 – Consumo de energia de uma residência

Para calcular o custo da energia elétrica em reais, multiplicamos o valor gasto em energia pelo valor da tarifa cobrada pela concessionária local, ficando assim expressa:

Onde R$ 0,310373 é o valor da tarifa cobrada pela concessionária RGE até 200 KWh de consumo. Nos dando um total de R$ 36,62 + imposto + tarifa.

              Agora que sabemos como se calcula a energia consumida, partimos para nossa pergunta:

- Qual a maneira de controlar o consumo de energia elétrica para economizar financeiramente?  

A) Economia com lâmpadas

            Fluorescente de 15W: rendimento fluxo luminoso (lm/W)840, vida útil de 7000 horas.

Calculamos num intervalo de 30 dias, o consumo de energia de três lâmpadas considerando uma média de horas em que as  mesmas permanecem ligadas em 3 casos.

    Tabela 2 – Consumo de energia das lâmpadas.

 Podemos calcular os gastos em reais nos três casos:

-         1º caso:

-        2º caso:

-         3º caso:

Gráfico 1 - 1º Caso

 

            Substituindo na fórmula E= P.t, onde E=J, P= W, t=s, as potências de 40, 20, 15W  e os tempos de 3 e 6 horas obtivemos a energia consumida.em KWh dando-nos uma função de 1ª grau.

Verifiquemos agora os outros dois casos em tempos diferentes.  

Gráfico 2 - 2º Caso

Gráfico 3 - 3º Caso

1º CASO: foi utilizada as três lâmpadas com 12 horas acessas por dia tendo um gasto  de 8,55 KWh;

2º CASO: foi diminuídas as horas da lâmpada incandescente de 3 horas para 2 horas e as fluorescentes houve um aumento de 1 hora ligada para cada uma, assim teremos 13 horas de lâmpadas acessas o que gerou um gasto de 8,40 kWh.

3º CASO: não utilizamos a lâmpada incandescente e aumentamos as outras lâmpadas1,5 horas a mais em cada lâmpada. Dessa forma tivemos 14 horas de lâmpadas acessas e um gasto de 7,575 KWh.

            Procuramos também comprovar a viabilidade no uso das duas lâmpadas utilizando uma lâmpada incandescente de 40W com um custo no mercado de R$ 1,80 e uma lâmpada fluorescente de 20W, com um custo aproximado de R$ 5,50 no mercado.
            Utlizando a Fórmula

,onde C é custo, E energia e tr  é tarifa Obtemos a seguir a tabela: 

Tabela 3 - comparação dos gastos de cada lâmpada.  

TEMPO	40W	20W
10h	5,52	7,36
20h	9,24	9,22
24h	10,70	9,96

Desta forma obtemos o seguinte gráfico 

           Podemos perceber, que após 20 horas de uso as lâmpadas alcançam um mesmo patamar. Mas as lâmpadas fluorescentes, apesar de terem um custo mais elevado na sua aquisição, possuem uma vida útil de 7000 horas, ou seja,7vezes mais do que as lâmpadas incandescentes(1000 horas).

B) Economia com o chuveiro

           Analisamos também os gastos gerados pelo uso do chuveiro, considerando três fases: -Inverno : utilizamos sua potência máxima; -Verão : redução de 30 até 20% na potência do chuveiro; -Fria: não há gastos de energia. Consideremos um chuveiro com P=5400W, onde duas pessoas tomam banho de 15 min cada, totalizando 30min/dia.

Fase inverno: 5400W ou 5,4 KW Fase verão: 5400W – 30% até 20% = 3780 a 4320 = 4000W ou 4,0 KW média. Verifique a economia feita se diminuirmos o banho para 10min cada pessoa totalizando 20min por dia.

            Portanto se diminuirmos para 10 min o banho termos uma economia de R$ 4,87, lembrando que foram considerados somente 10 dias do mês para efetuar os cálculos.

           Assim se quisermos efetuar outros cálculos referentes aos gastos dos aparelhos basta sabermos sua potência, para efetuar o cálculo da energia consumida e o valor da tarifa cobrada por uma determinada concessionária.
            O trabalho realizado possibilitou-nos ter uma visão mais clara quando tratamos de gastos financeiros gerados pela utilização de energia elétrica.

            O fato de trocarmos o tipo de lâmpada, diminuirmos o tempo no banho, são fatores que influenciam, e muito, nas despesas com gastos de energia. Assim poderíamos ter utilizado como objeto de estudo, outros aparelhos domésticos que, se forem, melhor utilizados, gerarão menos despesas.

Quando trocamos as lâmpadas incandescentes por fluorescentes, vimos que, além de ter um maior tempo de durabilidade, as lâmpadas fluorescentes consomem bem menos energia do que as lâmpadas incandescentes. Percebemos isto quando calculamos os gastos de energia dos dois tipos de lâmpadas num mesmo intervalo de tempo. Percebemos que mesmo aumentando o tempo de uso das lâmpadas fluorescentes seu consumo de energia ainda é menor que o consumo das lâmpadas incandescentes.

        Tratando-se do chuveiro, vimos que este aparelho consome uma quantia de energia bem significativa. O que nos mostra que devemos controlar nosso tempo no banho ao mantermos o chuveiro ligado. Vimos através dos cálculos que ao diminuirmos o tempo no banho de 15min para 10min teremos uma economia de 16,33KWh, o que em reais equivale a R$ 4,87 considerando um período de dez dias.

        Assim poderíamos ter analisado outros fatores, utilizado outros aparelhos para verificação dos gastos feitos pelos mesmos se quisermos gerar economia.

REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO

EGRISO Li, Manoel E. M. Instalações Elétricas.São Paulo. Edgard BlucherLTDA.1987. 3ª edição.
www.energiabrasil.gov.br/
www.adm.co.nz/expnomia
www.leocultura.hpp.ig.com.br/dicas
www.criseenergetica.com.br/home/calcula
www.aneel.gov.br/ www.ceee.com.br