Calcule o comprimento do arco cujo ângulo central é 0 3π e o raio da circunferência é igual a 6 cm

Exercícios complementares – Arcos e Ângulos 1. Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é 0,3π e o raio da circunferência é igual a 6 cm. 2. Calcular o comprimento do arco representado na figura abaixo: 3. Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’ de 60° numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco AB (ambos medidos em cm), obtém-se: a) 11/6. b) 2. c) 11/3. d) 22/3. e) 11. 4. Em um jogo eletrônico, o “monstro” tem a forma de um setor circular de raio 1 cm, como mostra a seguinte figura: A parte que falta no círculo é a boca do “monstro”, e o ângulo de abertura mede 1 radiano. O perímetro do “monstro”, em cm, é: a) π – 1. b) π + 1. c) 2π – 1. d) 2π. e) 2π + 1. 5. Na figura, tem-se duas circunferências copla-nares e concêntricas. Sendo OA = 4 cm, CD = 6 cm e o comprimento do arco AC = 6 cm, o comprimento do arco BD, em cm, é: a) 8. b) 12. c) 15. d) 18. 6. Um veículo percorre uma pista circular de raio 300 m, com velocidade constante de 10 m/s, durante um minuto. Dentre os valores abaixo, o mais próximo da medida, em graus, do arco percorrido é: a) 90 b) 115 c) 145 d) 75 e) 170 7. Qual o comprimento de um arco de 150º numa circunferência de raio 10 cm? 8. Transforme os ângulos abaixo para radianos. a) 120º b) 270º c) 45º d) 160º 9. Transforme os ângulos abaixo para graus. a) rad b) rad c) rad d) rad 10. Encontre o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio nas horas abaixo: a) 2h30min b) 10h20min c) 11h45min

Na determinação dos arcos de uma circunferência podemos ter dois tipos de medições: a linear e a angular. A medida linear de um arco qualquer é a distância entre dois pontos A e B, postulados na extremidade da circunferência. Observe:

Com base na ilustração notamos que a medida do arco AB é igual à medida da reta EF (arco esticado), e a medida angular do arco AB corresponde à medida do ângulo central do arco, ou seja, a medida angular do arco AB é a mesma medida do ângulo central: m(AB) = m(AÔB). Para representar a medida angular de arcos de circunferência utilizamos as seguintes unidades: grau e radiano.

Graus

A medida em graus de uma circunferência consiste em dividi-lá em 360 partes congruentes entre si, dessa forma, cada parte equivalerá a um arco de medida igual a 1º (um grau). Se dividirmos esse arco de 1º em 60 partes teremos cada parte medindo 1’(um minuto) e esse arco de 1’ minuto dividido em 60 partes iguais formam arcos correspondentes a 1” (um segundo). Assim, concluímos que: 1º = 60’ e 1’= 60”.

Radianos

Outra unidade de medida de arcos muito usual é o radiano, que consiste no arco cujo comprimento é igual à medida do raio da circunferência que o contém. Por exemplo, um arco de 3 rad corresponde ao arco de comprimento igual a 3 raios da circunferência, veja:

Comprimento AB = 3r → m(AB) = m(AÔB) = 3 rad
Ao dividirmos o comprimento do arco (l) de uma circunferência pelo seu raio (r), determinamos a medida do ângulo central em radianos.

Existe uma relação entre as medidas em grau e radiano, podemos destacar a seguinte relação:

360º → 2π radianos (aproximadamente 6,28) 180º → π radiano (aproximadamente 3,14) 90º → π/2 radiano (aproximadamente 1,57)

45º → π/4 radiano (aproximadamente 0,785)

As medidas de arcos de circunferências em graus e em radianos são diretamente proporcionais, dessa forma podemos realizar as conversões utilizando uma regra de três simples:

Medida em graus

Medida em radianos

180

Exemplo: Faça as seguintes transformações: a) 100º em radianos

b) 7π/15 rad em graus

Bom estudo a todos. Exercício 1. Calcular o comprimento do arco cujo ângulo central é 0,3π e o raio da circunferência é igual a 6 cm. C = α.r C = 0,3π . 6

Como determinar o comprimento de um arco de circunferência?

Para determinarmos o comprimento de um arco de circunferência temos dois casos a analisar, considerando que o ângulo central pode ser dado em graus ou em radianos. 1) Ângulo em graus. Quando o ângulo central α é dado em graus, podemos calcular o comprimento do arco através da fórmula abaixo: C = α.π.r / 180º 2) Ângulo em radianos

Qual o valor aproximado do arco?

C = α.r Vale lembrar que em ambos os casos devemos utilizar π = 3,14 (valor aproximado). Exemplo 1. Determine o comprimento de um arco onde o ângulo central é 60º, onde o raio da circunferência é igual a 5 cm.

Dada uma circunferência de centro O, raio r e dois pontos A e B pertencentes à circunferência, temos que a distância entre os pontos assinalados é um arco de circunferência. O comprimento de um arco é proporcional à medida do ângulo central, quanto maior o ângulo, maior o comprimento do arco; e quanto menor o ângulo, menor o comprimento do arco.

Para determinarmos o comprimento de uma circunferência utilizamos a seguinte expressão matemática: C = 2*π*r. A volta completa em uma circunferência é representada por 360º. Vamos realizar uma comparação entre o comprimento da circunferência em medida linear (ℓ) e medida angular (α), observe:

linear	angular
2πr	360º
ℓ	α

Essa expressão pode ser utilizada para determinar o comprimento do arco de uma circunferência de raio r e ângulo central α em graus. Nesses casos utilize π = 3,14.

Caso o ângulo central seja dado em radianos, utilizamos a seguinte expressão: ℓ = α * r.

Exemplo 1

Determine o comprimento de um arco com ângulo central igual a 30º contido numa circunferência de raio 2 cm.

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 30º * 3,14 * 2 / 180º ℓ = 188,40 / 180

ℓ = 1,05 cm

O comprimento do arco será de 1,05 centímetros.

Exemplo 2

O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm. Qual será o espaço percorrido pelo ponteiro após 30 minutos?

Veja a figura do relógio:

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 180º * 3,14 * 10 / 180º ℓ = 5652 / 180 ℓ = 31,4 cm O espaço percorrido pelo ponteiro dos minutos será de 31,4 centímetros.

Exemplo 3

Determine o comprimento de um arco com ângulo central medindo π/3 contido numa circunferência de 5 cm de raio.

ℓ = α * r ℓ = π/3 * 5 ℓ = 5π/3 ℓ = 5*3,14 / 3 ℓ = 15,7 / 3

ℓ = 5,23 cm

Exemplo 4

Um pêndulo de 15 cm de comprimento oscila entre A e B descrevendo um ângulo de 15º. Qual é o comprimento da trajetória descrita pela sua extremidade entre A e B?

ℓ = α * π * r / 180º ℓ = 15º * 3,14 * 15 / 180º ℓ = 706,5 / 180 ℓ = 3,9 cm

O comprimento da trajetória entre A e B é de 3,9 centímetros.

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Brasil Escola

Trigonometria - Matemática - Brasil Escola