Calcule a razão de uma P.A de 23 termos cujo primeiro termo é 8 e o ultimo e 74

no ano de 2082. CEDERJ 106 Progressão Aritmética MÓDULO 1 - AULA 10 Exerćıcios Propostos 5. O 150o número ı́mpar positivo é: a) 151 b) 291 c) 301 d) 299 e) 399 6. Calcule a razão de uma P.A. de 23 termos cujo primeiro termo é 8 e o último termo é 74. 7. Sendo 47 o décimo termo de uma P.A. e 2,75 sua razão, calcule o primeiro termo. 8. Na sequência (an) dada por ⎧⎪⎨⎪⎩ a1 = 1 an+1 = 4an + 1 4 em que n é um número natural. Então a45 vale: a) 43 4 b) 13 c) 45 4 d) 12 e) 15 9. Inserindo-se cinco números entre 18 e 96 de modo que a sequência (18 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , 96) seja uma progressão aritmética tem-se a3 igual a: a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47 10. Seja A o conjunto dos 1993 primeiros números inteiros estritamente positivos. Quantos múltiplos inteiros de 15 pertencem ao conjunto A? 11. As ráızes da equação x4 − 10x2 + 9 = 0: a) possuem soma igual a 10 b) estão em P.A., se colocadas em ordem crescente c) estão em P.A. cujo produto é 3 d) possuem soma igual a √ 10 e) possuem soma igual a 102 Desafio: Qual a relação dos coeficientes a, b e c da equação ax4+bx2+c = 0 para que as ráızes estejam em P.A.? 107 CEDERJ Progressão Aritmética Propriedades de uma P.A. Termos Equidistantes dos Extremos Definição 2 Considere os n primeiros termos de uma P.A. Dois termos são cha- mados equidistantes dos extremos se o número de termos que precede um deles é igual ao número que sucede o outro. a1 · · ·︸ ︷︷ ︸ p−1 ap , · · · , ak · · ·an︸ ︷︷ ︸ n−k . Nota: Se ap e ak são termos equidistantes em uma P.A. então: p − 1 = n − k =⇒ p + k = 1 + n . Propriedade 1 A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos, isto é, ap + ak = a1 + an . De fato, ap = a1 + (p − 1)r ak = a1 + (k − 1)r an = a1 + (n − 1)r dáı, ap + ak = 2a1 + (p + k − 2)r = 2a1 + (n + 1 − 2)r = a1 + a1 + (n − 1)r = a1 + an . Propriedade 2 Cada termo de uma P.A. é a média aritmética entre o termo anterior e posterior. CEDERJ 108 Progressão Aritmética MÓDULO 1 - AULA 10 Demonstração: Seja a P.A. (a1 , a2 , a3 , . . . , ap−1 , ap , ap+1 , . . .). Então: ap−1 = a1 + (p − 1 − 1)r = a1 + (p − 2)r ap+1 = a1 + (p + 1 − 1)r = a1 + p · r ap−1 + ap+1 = 2a1 + (2p − 2)r = 2a1 + 2(p − 1)r ap−1 + ap+1 2 = a1 + (p − 1)r = ap . isto é, ap = ap−1 + ap+1 2 . Exemplo 6 (a1 , −1 , a3 , 2 , a5) são os cinco primeiros termos de uma P.A. Determine a1 , a3 e a5. Solução: Usando a propriedade 2 temos: a3 = −1 + 2 2 =⇒ a3 = 1 2 . Logo, −1 = a1 + a3 2 =⇒ −2 = a1 + 1 2 =⇒ a1 = −5 2 2 = a3 + a5 2 =⇒ 4 = 1 2 + a5 =⇒ a5 = 7 2 . Exerćıcios Propostos 12. Se a, b e c, nesta ordem, são termos consecutivos de uma P.A., então o valor de 2a − 3b + 2c é igual a : a) a + c b) −b c) a d) b e) c 13. A média aritmética de 50 números que são termos consecutivos de uma P.A. é 100. Retirando-se dessa P.A. os 3o, 5o, 46o e 48o termos a média aritmética dos 46 termos restantes é: a) 100 b) um número menor que 100 c) um número compreendido entre 100 e 4600 109 CEDERJ Progressão Aritmética d) 5000 e) 4600 14. Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças sejam verdadeiras ou falsas. Numa P.A. a soma do 7o com o 17o termo é 50. Pode-se afirmar que: 1) ( ) A soma do 1o com o 23o termo é maior que 50 2) ( ) A soma do 9o com o 15o termo é menor que 50 3) ( ) O dobro do 12o termo é 50 Soma dos Primeiros n Termos de uma P.A. Vamos considerar o seguinte problema: Achar a soma dos 100 primeiros termos da sequência (1, 2, 3, . . .). Solução: Note que (1, 2, 3, . . .) é uma P.A. de razão 1. Consideremos a soma duas vezes em ordem crescente e decrescente: S = 1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + · · · + 3 + 2 + 1 2S = 101 + 101 + 101 + · · · + 101 + 101 + 101 logo, 2S = 100 × 101 =⇒ S = 100 × 101 2 =⇒ S = 5050 . Note acima a aplicação da propriedade 1. De um modo geral temos que: S = (a1 + an)n 2 . Exemplo 7 Qual a soma dos inteiros consecutivos 1 , 2 , 3 , · · · , 2004 , 2005? Solução: Temos uma P.A. de a1 = 1 , r = 1 , n = 2005 e an = 2005. Logo, S = (1 + 2005)× 2005 2 = 2.011.015 . CEDERJ 110 Progressão Aritmética MÓDULO 1 - AULA 10 Exerćıcios Propostos 15. A soma dos p primeiros números naturais ı́mpares é igual: a) ao quadrado da metade de p b) ao cubo de p c) ao quadrado de p d) à metade do quadrado de p e) ao triplo de p 16. Sabendo que a soma dos nove primeiros termos de uma P.A. é 17.874, calcule o seu 5o termo. 17. Numa P.A. sabe-se que a14 = 3 e a16 = 11. Calcule a soma dos seus trinta primeiros termos. 18. A soma das frações irredut́ıveis positivas menores do que 10, de deno- minador 4, é: a) 10 b) 20 c) 60 d) 80 e) 100 19. A soma dos n primeiros termos de uma P.A. infinita é dada por Sn = 4n 2 − 6n para todo n ∈ N∗. Determine o primeiro termo e a razão dessa P.A. 20. Determine a soma dos números inteiros estritamente positivo menores que 101 e que não são diviśıveis por 3. 21. Considere uma P.A. de cinco termos. A soma dos termos é 10 e a soma do primeiro com o terceiro é -2. O produto da razão pelo primeiro termo é: a) 6 b) -3 c) -12 d) -6 e) -15 22. Qual o número mı́nimo de termos que devemos somar na P.A. 8 , 7 , 6 , 5 , · · · para obtermos soma negativa? 23. A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n(n − 2), qualquer que seja n. Determine o 5o termo desta progressão. 24. A soma dos múltiplos de 11 comprrendidos entre 1 e 1000 é: a) 42000 b) 45045 c) 47500 d) 43045 e) 45450 111 CEDERJ Progressão Aritmética Exerćıcios Complementares 25. Os números a1 , a2 , a3 , · · · , an , · · · em que n é inteiro positivo, estão relacionados por ap = ap−1 + 2, com p = 2 , 3 , 4 , · · · . Se a1 = 1, determine a57. 26. Se o número 225 for dividido em três partes, formando uma P.A., de maneira que a terceira parte excede à primeira de 140. Essas partes serão: a) primos entre si b) múltiplos de 5 e 10 ao mesmo tempo c) números cujo produto é 54375 d) múltiplos de 5 e 3 ao mesmo tempo e) indeterminados 27. Em uma P.A. de sete termos, de razão k, retiramos o segundo, terceiro, quinto e sexto termos. A sucessão restante é uma P.A. de razão: a) k b) 2k c) k 2 d) 3k e) k 3 28. Numa P.A. tem-se que a15 − a5 = 5 e o primeiro termo é oito vezes a razão. Logo, o primeiro termo é: a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 29. A soma dos números entre 0 e 101 não diviśıveis por 5 é: a) 1000 b) 2000 c) 3000 d) 4000 e) 5000 30. A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é n2 +4n. Então, o termo geral dessa P.A. é: a) 5 + 2n b) 2n + 3 c) n + 4 d) 2n + 1 e) 2n − 3 31. A soma dos n primeiros elementos da seqüência ( 1−n n , 2−n n , 3−n n , · · · ) é dado por: a) 0 b) 1 n c) 1 − n 2 d) 2n + 3 2 e) n + 1 32. O valor de x da P.A (x , 2x + 1 , 5x + 7 , · · · ) é: a) 2 5 b) −1 4 c) 3 2 d) −4 5 e) −5 2 CEDERJ 112 Progressão Aritmética MÓDULO 1 - AULA 10 33. Se numa P.A., am + an = ap + aq então: a) m + n = p + q b) m − n = p − q c) mn = pq d) m n = p q e) m = n = p = q 34. A soma do 4o e 8o termos de uma P.A. é 20. O 31o termo é o dobro do 16o termo. A razão dessa P.A. é: a) 7 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Gabarito dos Exerćıcios Propostos 1. (1 , 3 , 7 , 15 , 31) 9. b 17. 270 2. (7 , 10 , 13 , 16) 10. 132 18. e 3. 20 9 11. b 19. a1 = −2 e r = 8 4. 9090909 12. d 20. 3367 5. d 13. a 21. c 6. r = 3 14. 1)F, 2)F, 3)V 22. 18 7. 22, 25 15. c 23. 7 8. d 16. 1986 24. b Gabarito dos Exerćıcios Complementares 25. 113 30. b 26. c 31. c 27. d 32. e 28. e 33. a 29. d 34. b 113 CEDERJ Progressão Geométrica MÓDULO 1 - AULA 11 Aula 11 – Progressão Geométrica Introdução Vamos continuar considerando tipos especiais de sequências de números reais. É o caso das progressões geométricas. Definição 1 Sejam a e q dois números reais não nulos. Chama-se Pro- gressão Geométrica (P.G.) à sequência (an) tal que{ a1 = a an+1 =